Arată că integrarea cos ^ 4 x sin² x dx = 1/16 [x - (sin4x) / 4 + (sin ^ 3 2x) / 3]

Răspuns:

# = 1/16 (x-sin (4x) / 4 + sin ^ 3 (2x) / 3) #

Explicaţie:

#int (cos ^ 4 (x) sin ^ 2 (x)) dx = int ((1 + cos (2x)) / 2) ^ 2 ((1-cos (2x)) / 2) dx #

Folosind formula

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

# Păcat ^ 2 (2x) = (1-cos (2x)) / 2 #

#int ((1 + cos (2x)) / 2) ^ 2 ((1-cos (2x)) / 2) dx #

# = Int ((1 + cos ^ 2 (2x) + 2cos (2x)) (1-cos (2x))) / 8dx #

# = Int ((1 + cos ^ 2 (2x) + 2cos (2x) -cos (2x) -cos ^ 3 (2x) -2cos ^ 2 (2x)) / 8) dx #

#int (1 + cos (2x) -cos ^ 2 (2x) -cos ^ 3 (2x)) / 8dx #

# 1/8 (int (dx) + int cos (2x) dx-int (cos ^ 2

#int cos ^ 2 (2x) dx = int (1 + cos (4x)) / 2dx #=# X / 2 + sin (4x) / 8 #

# intcos ^ 3 (2x) dx = int (1-sin ^ 2 (2x)) cos (2x) dx #

(2X) / 2-sin ^ 3 (2x) / 6 #

# 1/8 (int (dx) + int cos (2x) dx-int (cos ^ 2

=# 1. / 8 (x + sin (2x) / 2x / 2-sin (4x) / 8-sin (2x) / 2 + sin ^ 3 (2x) / 6) #

# = 1/16 (x-sin (4x) / 4 + sin ^ 3 (2x) / 3) #

Fie P orice punct al conicului r = 12 / (3-sin x). Fie F1 și F2 punctele (0, 0 °) și respectiv (3, 90 °). Arată că PF¹ și PF² = 9?

R = 12 / {3-sin theta} Suntem rugați să afișăm | PF_1 | + | PF_2 | = 9, adică P mătură o elipsă cu focuri F_1 și F_2. Consultați dovada de mai jos. # Să reparăm ce vom ghici este o tipo și să spunem că P (r, theta) satisface r = 12 / {3-sin theta} Gama sinusoidală este pm 1 astfel încât să încheiem 4 le r le 6. 3r - r sin theta = 12 | PF_1 | = | P - 0 | = r În coordonate rectangulare, P = (r cos cos t, r sin tta) și F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ ^ theta + (r sin theta-3) ^ 3 | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2theta - 6 r sin th

Arată că, (1 + cos cos ata + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = n * theta / 2)?

Vedeți mai jos. Fie 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), aici r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt ) -2) = 2cos (theta / 2) și tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (2) (a + 2) sau alfa = theta / 2 atunci 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alfa) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n folosind teorema DE Moivre ca r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ ncos ^ n (theta / / 2) = 2 ^ (n + 1) cos ^ n (theta / 2) cos ((ntheta) / 2)

Cum găsiți integrarea definitivă pentru: e ^ sin (x) * cos (x) dx pentru intervalele [0, pi / 4]?

Utilizați o substituție u pentru a obține int_0 ^ (pi / 4) e ^ sinx * cosxdx = e ^ (sqrt (2) / 2) -1. Vom începe prin rezolvarea integralului nedeterminat și apoi vom rezolva limitele. În intex sinx * cosxdx, avem sinx și derivatul său, cosx. Prin urmare, putem folosi o substituție u. Fie u = sinx -> (du) / dx = cosx -> du = cosxdx. Pentru a obține rezultatul final: e ^ sinx Acum putem evalua acest lucru de la 0 la pi / 4: [e ^ sinx] _0 ^ ( pi / 4) = (e ^ sin (pi / 4) -e ^ 0) = e ^ (sqrt (2) / 2)