Fie P orice punct al conicului r = 12 / (3-sin x). Fie F1 și F2 punctele (0, 0 °) și respectiv (3, 90 °). Arată că PF¹ și PF² = 9?

Răspuns:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Suntem rugați să ne arătăm # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, adică # P # mătură o elipsă cu focuri # # F_1 și # F_2. # Consultați dovada de mai jos.

Explicaţie:

Să reparăm ceea ce voi presupune că este o greșeală și să spun #P (r, theta) # satisface

#r = 12 / {3-sin theta} #

Gama de sine este #pm 1 # așa că încheiem # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

În coordonate dreptunghiulare, # P = (r cos teta, r sin theta) # și # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

PF_2 | 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2theta + (r sin theta-3) ^ 3 #

PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r păcat theta = 3r -12 #

PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r-12) + 9 #

PF_2 | 2 = r ^ 2-18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # deoarece deja știm # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9-r = 9 quad sqrt #