Cum găsiți toate soluțiile de 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

Cum găsiți toate soluțiile de 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?
Anonim

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # pentru

# x în {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # Unde #n în ZZ #

Rezolva: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

În primul rând, înlocuiți-l # cos ^ 2 x # de # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Apel # sin x = t #, noi avem:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Aceasta este o ecuație patratică a formei # la ^ 2 + bt + c = 0 # care pot fi rezolvate prin comenzi rapide:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

sau factoring la # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

O rădăcină reală este # t_1 = -1 # și cealaltă este # t_2 = 1/2 #.

În continuare rezolvați cele 2 funcții de bază ale trig:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# # RArr # x_1 = pi / 2 + 2npi # (pentru #n în ZZ #)

și

# t_2 = păcat x_2 = 1/2 #

# # RArr # x_2 = pi / 6 + 2npi #

sau

# # RArr # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Verificați cu ecuația (1):

#cos (3pi / 2) = 0; sin (3pi / 2) = -1 #

# x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (corect)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; sin (pi / 6) = 1/2 #.

# x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (corect)