Fie f o funcție continuă: a) Find f (4) dacă _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx pentru toate x. b) găsiți f (4) dacă _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx pentru toate x?

Răspuns:

A) #f (4) = pi / 2 #; b) #f (4) = 0 #

A) Diferențiați ambele părți.

Prin a doua teoremă fundamentală a calculului din partea stângă și a regulilor de produs și lanț din partea dreaptă, vedem că diferențierea arată că:

#f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) #

închirierea # X = 2 # arată că

#f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

#f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

#f (4) = pi / 2 #

b) Integrați termenul interior.

# Int_0 ^ f (x) t ^ 2DT = xsin (pix) #

# T ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (pix) #

A evalua.

# (F (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (F (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (F (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) #

Lăsa # X = 4 #.

# (F (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) #

# (F (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #