Demonstrați următoarele?

Răspuns:

Verificați mai jos.

Explicaţie:

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2-1) dx> 0 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (1) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> x _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 2-1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 #

Trebuie să dovedim asta

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 #

Luați în considerare o funcție #f (x) = e ^ x-LNX #, #X> 0 #

Din graficul din # # C_f putem observa că pentru #X> 0 #

noi avem # E ^ x-LNX> 2 #

Explicaţie:

#f (x) = e ^ x-LNX #, #X##în##1/2,1#

#f '(x) = e ^ x-1 / x #

#f '(1/2) = sqrte-2 <0 #

#f '(1) = e-1> 0 #

Conform teoremei Bolzano (Intermediate Value), avem #f '(x_0) = 0 # #<=># # E ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# E ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # X_0 = -lnx_0 #

Distanța verticală este între # E ^ x # și # # LNX este minim când #f (x_0) = e ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

Trebuie să arătăm asta #f (x)> 2 #, # # AAX#>0#

#f (x)> 2 # #<=># # X_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# X_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (X_0-1) ^ 2> 0 # #-># adevărat pentru #X> 0 #

grafic {e ^ x-lnx -6,96, 7,09, -1,6, 5,42}

# (E ^ x-LNX) / x ^ 2> 2 / x ^ 2 #

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> - 2 / x _1 ^ 2 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> ##-1+2# #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2-1) dx> 0 #