Cum folosiți testul de comparație a limitei pentru suma 1 / (n + sqrt (n)) pentru n = 1 până la n = oo?

Răspuns:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # acest lucru poate fi văzut prin compararea lui cu #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Explicaţie:

Deoarece această serie este o sumă de numere pozitive, trebuie să găsim fie o serie convergentă #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # astfel încât #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # și să concluzionăm că seria noastră este convergentă, sau trebuie să găsim o serie de astfel de divergențe #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # și să încheiem și seria noastră de divergențe.

Remarcăm următoarele:

Pentru

#N> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Prin urmare

# N + sqrt (n) <= 2n #.

Asa de

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Deoarece este bine cunoscut faptul că #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # diverge, deci #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # se diferențiază, de asemenea, deoarece, dacă ar converg, atunci # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # ar converg, de asemenea, și acest lucru nu este cazul.

Acum, folosind testul comparativ, vedem asta #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # diverge.

Testul de comparare a limitelor durează două serii, # # Suma_n și # # Sumb_n Unde #a_n> = 0 #, # # B_ngt0.

Dacă #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # Unde #L> 0 # și este finit, atunci fie ambele serii converg sau ambele serii diverg.

Ar trebui să lăsăm # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, secvența din seria dată. Un bun # # B_n alegere este funcția de overpowering că #un# abordări ca # N # devine mare. Deci, hai # B_n = 1 / n #.

Rețineți că # # Sumb_n se diferențiază (este seria armonică).

Deci, vedem asta #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Continuând prin împărțirea prin # N / n #, asta devine #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Deoarece limita este #1#, care este #>0# și definit, vedem asta # # Suma_n și # # Sumb_n ambele vor diverg sau converg. Deoarece deja știm la # # Sumb_n diverge, putem concluziona că # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # se deosebește de asemenea.