Cum folosiți testul Integral pentru a determina convergența sau divergența seriei: suma n e ^ -n de la n = 1 la infinit?

Răspuns:

Ia integrala # Int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, care este finit, și ia act de faptul că ea se limitează #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Prin urmare, este convergent, deci #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # este la fel de bine.

Explicaţie:

Declarația oficială a testului integral afirmă că dacă #fin 0, oo) rightarrowRR # o funcție descrescătoare monoton care nu este negativă. Atunci suma #sum_ (n = 0) ^ ăă (n) # este convergent dacă și numai dacă # "Sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # este finit. (Tau, Terence, Analiza I, a doua ediție, agenția de carte Hindustan, 2009).

Această declarație poate părea puțin tehnică, dar ideea este următoarea. Luând în acest caz funcția #f (x) = xe ^ (- x) #, am observat că pentru #X> 1 #, această funcție scade. Putem vedea acest lucru luând derivatul. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, de cand #X> 1 #, asa de # (1-x) <0 # și #E ^ (- x)> 0 #.

Din acest motiv, observăm că pentru orice #ninNN _ (> = 2) # și #x în 1, oo) # astfel încât #X <= n # noi avem #f (x)> = f (n) #. Prin urmare #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, asa de #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# Int_1 ^ ăă (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # folosind integrarea de părți și că #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

De cand #f (x)> = 0 #, noi avem # E / 2 = int_1 ^ ăă (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, asa de #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. De cand #f (n)> = 0 #, serialul #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # crește ca # N # crește. Deoarece este limitat de # 3 / e #, trebuie să converge. Prin urmare #sum_ (n = 1) ^ ăă (n) # converge.