Răspuns:
Faceți o mulțime de algebră după aplicarea definiției limită pentru a afla că panta este la # X = 3 # este #13#.
Explicaţie:
Definiția limită a derivatului este:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Dacă evaluăm această limită pentru # 3x ^ 2-5x + 2 #, vom primi o expresie pentru derivat din această funcție. Derivatul este pur și simplu panta liniei tangente la un punct; astfel încât să se evalueze derivatul la # X = 3 # ne va da panta liniei tangente la # X = 3 #.
Cu asta a spus, să începem:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (anula (3x ^ 2) + 6HX + 3h ^ 2-anula (5x) -5H + anula (2) -cancel (3x ^ 2) + anula (5x) -cancel (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6HX + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (anula (h) (6x +-3h 5)) / anulare (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) + 6x-3h 5 #
Evaluarea acestei limite la # H = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Acum, că avem derivatul, trebuie doar să conectăm # X = 3 # pentru a găsi panta liniei tangente acolo:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Răspuns:
Consultați secțiunea explicativă mai jos dacă profesorul / manualul dvs. utilizează #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Explicaţie:
Unele prezentări ale utilizării calculului, pentru definirea pantei liniei tangente la graficul lui #f (x) # în punctul în care # x = un # este #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # cu condiția ca limita să existe.
(De exemplu, ediția a 8-a a lui James Stewart Calcul p 106. La pagina 107, el dă echivalentul #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Cu această definiție, panta liniei tangente la graficul lui # f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # în punctul în care # X = 3 # este
(xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) 3x ^ 2-5x + 2 2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Rețineți că această limită are o formă nedeterminată #0/0# deoarece #3# este un zero al polinomului în numărător.
De cand #3# este zero, știm asta # x-3 # este un factor. Deci, putem factoriza, reduce și încerca să evaluăm din nou.
(x-3)) (3x + 4)) / anula ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Limita este #13#, astfel încât panta liniei tangente la # X = 3 # este #13#.
