Care este inversul f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Răspuns:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Explicaţie:

Presupunând că avem de-a face # # Log_3 ca o funcție cu valoare reală și invers # 3 ^ x #, apoi domeniul #f (x) # este # (3, oo) #, din moment ce ne cerem #x> 3 # pentru a # Log_3 (x-3) # fi definit.

Lăsa #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Atunci:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Asa de:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Asa de:

# 3 ^ (- y / 3) + 9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Asa de:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) + 9/4) #

De fapt, trebuie să fie rădăcina pătrată pozitivă deoarece:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Asa de:

# x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

De aici:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #