Care este noua metodă de transformare pentru a rezolva ecuațiile patrate?

Spuneți, de exemplu, că ați …

# X ^ 2 + bx #

Acest lucru poate fi transformat în:

# (X + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Să aflăm dacă expresia de mai sus se traduce înapoi # X ^ 2 + bx #…

# (X + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = ({X + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) #

# = (X + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = X ^ 2 + bx #

Raspunsul este da.

Acum, este important să rețineți acest lucru # X ^ 2-bx # (observați semnul minus) pot fi transformate în:

# (X-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Ce faci aici este completarea pătratului. Puteți rezolva multe probleme patrate prin completarea pătratului.

Iată un exemplu primar al acestei metode de lucru:

# Ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# Ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# X ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2- (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# X + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) #

# X + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# X = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Faimoasa formulă patratică poate fi derivată de la completarea pătratului.

Noua metodă de transformare pentru a rezolva ecuațiile patratice.

CAZUL 1. Rezolvarea tipului # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Rezolvarea înseamnă găsirea a 2 numere cunoscând suma lor (# -B #) și produsul lor (# C #). Noua metodă compine perechi de factori de (# C #), și, în același timp, aplică regula de semne. Apoi, ea găsește perechea a cărei sumă este egală cu (# B #) sau (# -B #).

Exemplul 1. Rezolva # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Soluţie. Scrieți perechile de factori din #c = -102 #. Rădăcinile au semne diferite. Continua: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# Ultima sumă # (- 6 + 17 = 11 = -b). # Apoi cele 2 rădăcini reale sunt: #-6# și #17#. Fără factorizare prin grupare.

CAZUL 2. Rezolvarea tipului standard: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

Noua metodă transformă această ecuație (1) în: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Rezolvați ecuația (2) ca în cazul 1 pentru a obține cele 2 rădăcini reale # # Y_1 și # # Y_2. Apoi, împărțiți-vă # # Y_1 și # # Y_2 prin coeficientul a pentru a obține cele 2 rădăcini reale # # X_1 și # # X_2 din ecuația inițială (1).

Exemplul 2. Rezolva # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240. #

Ecuația transformată: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Rezolvați ecuația (2). Ambele rădăcini sunt pozitive (Regula de Semne). Scrieți perechile de factori din # a * c = 240 #. Continua: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Ultima sumă este # (5 + 48 = 53 = -b) #. Apoi, cele 2 rădăcini reale sunt: # y_1 = 5 # și

# y_2 = 48 #. Înapoi la ecuația inițială (1), cele 2 rădăcini reale sunt: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # și # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Fără factoring și rezolvarea binomilor.

Avantajele noii Metode de Transformare sunt: simple, rapide, sistematice, fără a ghici, fără factorizare prin grupare și fără rezolvarea binomilor.