Răspuns:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Explicaţie:
Lăsa #f (x) = 3in (5x) + x ^ 3 #
Să presupunem că avem de-a face cu adevărate valori și, prin urmare, cu logaritmul natural real.
Atunci suntem constrânși să #x> 0 # pentru a #ln (5x) # fi definit.
Pentru orice #x> 0 # ambii termeni sunt bine definite și așa #f (x) # este o funcție bine definită cu domeniu # (0, oo) #.
Rețineți că # 3LN (5) # și # X ^ 3 # ambele sunt în mod strict monotonice în creștere în acest domeniu, astfel încât funcția noastră este prea și este una la-unu.
Pentru valori mici pozitive ale #X#, termenul # X ^ 3 # este mic și pozitiv și termenul # 3LN (5x) # este arbitrar de mare și negativ.
Pentru valori pozitive mari de #X#, termenul # 3LN (5x) # este pozitiv și termenul # X ^ 3 # este arbitrar mare și pozitiv.
Deoarece funcția este de asemenea continuă, intervalul este # (- oo, oo) #
Deci, pentru orice valoare #y în (-oo, oo) # există o valoare unică de #x în (0, oo) # astfel încât #f (x) = y #.
Aceasta definește funcția noastră inversă:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Acesta este #f ^ (- 1) (y) # este valoarea lui #X# astfel încât #f (x) = y #.
Am arătat (informal) că există, dar nu există o soluție algebrică pentru #X# in termeni de # Y #.
Graficul graficului #f ^ (- 1) (y) # este graficul #f (x) # reflectate în linie # Y = x #.
În notația setată:
#f = {(x, y) în (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
(x, y) în RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
