Care este intervalul de y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Mai întâi, să luăm în considerare domeniul:

Pentru ce valori #X# este funcția definită?

Numerotatorul # (1-x) ^ (1/2) # este definită numai atunci când # (1-x)> = 0 #. adăugare #X# pe ambele părți ale acestui lucru găsiți #x <= 1 #.

De asemenea, numitorul trebuie să fie diferit de zero.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # este zero când # x = -1 / 2 # și atunci când # x = -1 #.

Deci, domeniul funcției este

# {x în RR: x <= 1 și x! = -1 și x! = -1/2} #

Defini #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # pe acest domeniu.

Să luăm în considerare fiecare interval continuu în domeniu separat:

În fiecare caz, lăsați #epsilon> 0 # fie un număr pozitiv mic.

Cazul (a): #x <-1 #

Pentru valori negative mari de #X#, #f (x) # este mic și pozitiv.

La celălalt capăt al acestui interval, dacă #x = -1 - epsilon # atunci

= f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # la fel de #epsilon -> 0 #

Prin urmare #x <-1 # intervalul de #f (x) # este # (0, + oo) #

Cazul (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1)

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # la fel de #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Prin urmare # -1 / 2 <x <= 1 # intervalul de #f (x) # este # 0, + oo) #

Cazul (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # la fel de #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1)

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # la fel de #epsilon -> 0 #

Așadar, întrebarea interesantă este cea a valorii maxime #f (x) # în acest interval. Pentru a găsi valoarea #X# pentru care se întâmplă acest lucru, caută derivatul să fie zero.

# D / (dx) f (x) #

= (1/2) xx-1) / (2x2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

= (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

= ((1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Aceasta va fi zero când numărul este zero, aș dori să rezolvăm:

# 1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)

Multiplicați prin # 2 (1-x) ^ (1/2) # a obține:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Acesta este:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

care are rădăcini # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Dintre aceste rădăcini, # x = (5-sqrt (194)) / 12 # se încadrează în intervalul respectiv.

Înlocuiți acest lucru înapoi #f (x) # pentru a găsi maximul de #f (x) în acest interval (aproximativ -10).

Acest lucru mi se pare complex. Am făcut vreo eroare?

Răspuns: Intervalul funcției este # (- oo, -10.58) uu 0, oo) #

Pentru #x în (-oo, -1) # #-># #y în (0, oo) #

Pentru #x în (-1, -0,5) # #-># #y în (-oo, -10.58 #

Pentru #x în (-0,5, 1 # #-># #y în 0, oo) #