Este secvența a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) convergentă sau divergentă?

Răspuns:

# "Vezi explicația" #

Explicaţie:

#a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n #

# = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3)

# = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4)

# "Rețineți că ați putea aplica mai ușor limita lui Euler aici:" #

#Limit {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2,7182818 …. #

= (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 …. #

# "Deci, succesiunea creste foarte mare, dar nu infinit de mare, asa ca" #

# "Converge." #