Găsiți zona regiunii umbrită?

Răspuns:

Vedeți mai jos.

Explicaţie:

Când învățăm mai întâi să găsim zone prin integrare, luăm dreptunghiuri reprezentative pe verticală.

Dreptunghiurile au baza # # Dx (o mică schimbare în #X#) și înălțimi egale cu cele mai mari # Y # (cea de pe curba superioară) minus cea mai mică # Y # (cea de pe curba inferioară). Apoi integram din cele mai mici #X# valoare pentru cel mai mare #X# valoare.

Pentru această nouă problemă am putea folosi două astfel de intergrase (vezi răspunsul lui Jim S), dar este foarte valoros să învățăm să ne transformăm gândirea #90^@#.

Vom lua dreptunghiuri reprezentative orionale.

Dreptunghiurile au înălțime # Dy # (o mică schimbare în # Y #) și baze egale cu cele mai mari #X# (cea de pe curba din dreapta) minus cea mai mică #X# (cea de pe curba din stânga). Apoi integram din cele mai mici # Y # valoare pentru cel mai mare # Y # valoare.

Observați dualitatea

("mai sus", iff, "leftmost"), (x, x, x, dacăf, y):} #

Expresia "de la cel mai mic #X# valoare pentru cel mai mare #X# valoare "indică faptul că ne integrăm de la stânga la dreapta (în direcția creșterii #X# valori.)

Expresia "de la cel mai mic # Y # valoare pentru cel mai mare # Y # valoarea "indică faptul că integram partea de sus în partea de sus (în direcția creșterii # Y # valori.)

Iată o imagine a regiunii cu un mic dreptunghi indicat:

Zona este

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Răspuns:

Zona regiunii umbrită este # 1m ^ 2 #

Explicaţie:

# X = 1 / y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# Y = sqrtx / x # (putem vedea din grafic)

# Sqrtx / x = x # #<=># # X ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X ^ 4-x = 0 # #<=># #X (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (putem vedea și din grafic)

Unul dintre numeroasele moduri în care se poate exprima regiunea umbrită ar putea fi aria triunghiului # AhatOB = Ω # cu excepția zonei cyan pe care o voi apela #color (cyan) (Ω_3) #

Lăsa #Ω_1# fi zona negru afișată în grafic și #color (verde) (Ω_2) # zona verde arătată în grafic.

Zona triunghiului mic # ChatAD = # #color (verde) (Ω_2) # va fi:

• #color (verde) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># # X = 1 / # 4

Zona de #Ω_1# va fi:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Ca urmare, zona umbroasă va fi

• #Ω_1## + Culoare (verde) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #