Dacă f (x) = x tan ^ -1 atunci f (1) este ce?

Răspuns:

# f (1) # Unde #f (x) = x arctan x #.

# f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Explicaţie:

Voi presupune că întrebarea este #f (1) # Unde #f (x) = x arctan x #.

# f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

În mod normal aș trata # # Arctan ca multivaluate. Dar aici cu notația funcțională explicită #f (x) # Voi spune că vrem valoarea principală a tangentei inverse. Unghiul cu tangenta 1 din primul cvadrant este # 45 ^ # Circ sau # Pi / 4 #:

# f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Acesta este sfârșitul. Dar să punem problema deoparte și să ne concentrăm asupra a ceea ce #arctan t # înseamnă cu adevărat.

De obicei mă gândesc # t ^ ^ 1 (t) # sau echivalent (și cred că notația mai bună) #arctan (t) # ca expresie multivaluată. Arctanul "functie" nu este cu adevarat o functie, deoarece este inversul unui ceva periodic, care nu poate avea cu adevarat un invers asupra intregului sau domeniu.

Acest lucru este foarte confuz pentru studenți și profesori. Dintr-o dată avem lucruri care arată ca niște funcții care nu sunt cu adevărat funcții. S-au strecurat sub radar. Sunt necesare noi reguli pentru a le aborda, dar nu sunt niciodată explicit menționate. Matematica începe să devină fuzzy când nu ar trebui.

# x = arctan t # este cel mai bine gândit ca soluții pentru #tan x = t. # Există un număr infinit de numere, câte unul pe perioadă. Tangentul are o perioadă de # Pi # deci soluțiile sunt # Pi # în afară, care este în cazul în care #pi k # vine de la, intreg # # K.

De obicei, scriu valoarea principală a tangentei inverse ca Arctan, cu un capital A. Din păcate Socratic o "corectează". Îl voi lăsa aici:

# t = tan x # are soluții

# x = arctan t = text {Arc} text {tan} (t) + pi k quad # pentru întreg # # K.