Diferențiați de primul principiu x ^ 2sin (x)?

Răspuns:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # de la definirea derivatului și luarea unor limite.

Explicaţie:

Lăsa #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Atunci

# (df) / dx = lim_ {h to 0} (f (x + h)

(x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

(x) = (x) x (x) x (2) x (2) #

#=#

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h +

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)

# lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)

de o identitate trigonometrică și de unele simplificări. Pe cele patru ultime linii pe care le avem patru termeni.

Primul termen este egal cu 0, deoarece

{x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

= x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0} (cos (h) -1) / h) #

#= 0#, care poate fi văzut de ex. de la expansiunea lui Taylor sau de la regula lui L'spital.

Al patrulea termen De asemenea, dispare pentru că

(x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

= sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Acum al doilea mandat simplifică la

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

= x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, de cand

#lim_ {h to 0} (păcat (h)) / h = 1 #, așa cum se arată aici, sau de ex. Regimul lui L'Spital (vezi mai jos).

al treilea termen simplifică la

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)

# = lim_ {h to 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

care după adăugând celui de-al doilea termen da asta

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Notă: De regulă, de la L'Hospital, de atunci # lim_ {h to 0} păcat (h) = 0 # și # lim_ {h până la 0} h = 0 # și ambele funcții sunt diferențiate în jurul valorii # H = 0 #, avem asta

(d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h to 0} cos (h) = 1 #.

Limita # lim_ {h to 0} (cos (h) -1) / h = 0 # pot fi arătate în mod similar.