Pentru ce valori ale lui x este f (x) = x-x ^ 2e ^ -x concavă sau convexă?

Răspuns:

Găsiți cel de-al doilea derivat și verificați semnul acestuia. Este convex dacă este pozitiv și concav dacă este negativ.

Concave pentru:

#x în (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Convex pentru:

#x în (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Explicaţie:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Primul derivat:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Lua # E ^ -X # ca factor comun pentru simplificarea următorului derivat:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Al doilea derivat:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Acum trebuie să studiem semnul. Putem schimba semnul pentru rezolvarea cu ușurință a cadrului:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = ^ 2-4 * 4 1 * 2 = 8 #

Pentru a face un produs patrat:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Prin urmare:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• O valoare de #X# între aceste două soluții dă un semnal patrativ negativ, în timp ce orice altă valoare a lui #X# o face pozitivă.
• Orice valoare de #X# mărci # E ^ -X # pozitiv.
• Semnul negativ la începutul funcției inversează toate semnele.

Prin urmare, #f '' (x) # este:

Pozitive, deci concave pentru:

#x în (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativ, deci convex pentru:

#x în (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #