Pentru ce valori ale lui x este f (x) = (- 2x) / (x-1) concavă sau convexă?

Răspuns:

Studiați semnul celui de-al doilea derivat.

Pentru #X <1 # funcția este concavă.

Pentru #X> 1 # funcția este convexă.

Explicaţie:

Trebuie să studiați curbură prin găsirea celui de-al doilea derivat.

#f (x) = - 2x / (x-1) #

Primul derivat:

#f '(x) = - 2 ((x)' (x-1) -x (x-1) ') / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

Al doilea derivat:

#f '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) "#

#f '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) "#

#f '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#f '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Acum semnul #f '' (x) # trebuie studiat. Numitorul este pozitiv atunci când:

# - (x-1) ^ 3> 0 #

# (X-1) ^ 3 <0 #

# (X-1) ^ 3 <0 ^ 3 #

# x-1 <0 #

#X <1 #

Pentru #X <1 # funcția este concavă.

Pentru #X> 1 # funcția este convexă.

Notă: punctul # X = 1 # a fost exclus din cauza funcției #f (x) # nu poate fi definită pentru # X = 1 #, deoarece denumirea ar deveni 0.

Iată un grafic care vă permite să vedeți cu ochii:

grafic {(- 2x) / (x-1) -14,08, 17,95, -7,36, 8,66}