Când folosiți formula lui Heron pentru a găsi zona?

Puteți să o utilizați ori de câte ori cunoașteți lungimea tuturor celor trei laturi ale unui triunghi.

Sper că acest lucru a fost de ajutor.

Răspuns:

Formula lui Heron este aproape întotdeauna o formulă greșită de folosit; încercați teorema lui Archimedes pentru un triunghi cu zonă #A# și laturile # A, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 ^

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^

(a + b + c) (a + b + c) (a + b + c)

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # Unde # s = 1/2 (a + b + c) #

Ultimul este Heron subțire.

Explicaţie:

Eroul din Alexandria a scris în primul secol d.Hr. De ce continuăm să torturăm elevii cu rezultatul său atunci când există echivalente moderne mai frumoase, nu am idee.

Formula lui Heron pentru zonă #A# a unui triunghi cu laturi # A, b, c # este

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # Unde # s = 1/2 (a + b + c) # este semiperimetrul.

Nu există nici o îndoială că această formulă este minunată. Dar este greu de folosit din cauza fracțiunii și, dacă începem de la coordonate, cele patru rădăcini pătrate.

Să facem doar matematica. Pătrundem și eliminăm # S # care servește mai mult pentru a ascunde a #16# și o importantă factorizare. S-ar putea să încercați să-l încercați mai întâi.

(A + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -a) b + c) -c)

(A + b + c)) (1/2 (a-b + c)) 1/2 (a + bc) #

(A + b + c) (a + b + c) (a + b-c)

E deja mult mai bine decât forma lui Heron. Salvăm fracțiunea până la capăt și nu ne mai mirăm de semnificația semiperimetrului.

Cazul degenerat spune. Atunci când unul dintre acești factori cu semnul minus este zero, atunci când două părți se adaugă exact la cealaltă parte. Acestea sunt distanțele dintre trei puncte colineare, triunghiul degenerat, și ajungem la zero. Are sens.

# A + b + c # factor este interesant. Ceea ce ne spune este că această formulă continuă să funcționeze dacă folosim deplasări, lungimi semnate, în loc de toate pozitive.

Formula este încă incomodă pentru utilizarea coordonatelor date. Să o multiplicăm; poate doriți să încercați-l singur;

(A + b + c) (a + b + c) (a + b-c)

(a-2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc-ac + bc-c ^ 2) #

# 2 (a ^ 2 - b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc)

# 2 (a ^ 2 - b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc)

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)

Această formă depinde numai de pătratele lungimilor. Este clar pe deplin simetric. Putem merge dincolo de Heron acum și să spunem dacă pătrat lungime sunt raționale, așa este și suprafața pătrată.

Dar putem face mai bine dacă notăm

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^) #

scăzând,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ^ 2-2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^

Aceasta este cea mai frumoasă formă.

Există o formă asimetrică care este de obicei cea mai utilă. Noi notam

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 2) #

Adăugând acest lucru la

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 ^

Aceasta este forma cea mai utilă. Există într-adevăr trei moduri de ao scrie, schimbând laturile.

În mod colectiv, acestea se numesc Teorema lui Archimedes, din trigonometria rațională NJ Wildberger.

Când sunt date coordonate 2D, adesea Formula Shoelace este cea mai rapidă cale către zonă, dar o voi salva pentru alte postări.