Care este ecuația liniei tangente la x = 1?

Răspuns:

# y - F (1) = 2 sqrt (6) (x - 1) #

# "cu F (1) = 1,935" #

Explicaţie:

#F '(x) = 2 sqrt ((2x) ^ 2 + 2x) #

# = 2 sqrt (4x ^ 2 + 2x) #

# => F '(1) = 2 sqrt (6) #

# "Deci căutăm linia dreaptă cu pantă" 2 sqrt (6) #

# "care trece prin (1, F (1))." #

# "Problema este că nu știm F (1) dacă nu calculăm" #

# "integralul definitiv" #

# int_1 ^ 2 sqrt (t ^ 2 + t) "" dt #

# "Trebuie să aplicăm o înlocuire specială pentru a rezolva această problemă integrală." #

# "Putem ajunge acolo cu substituția" u - t = sqrt (t ^ 2 + t) #

(t ^ 2) = anula (t ^ 2) + t # 2 = t (2)

# => t = u ^ 2 / (1 + 2u) #

= dt / {du} = (2u (u + 1)) / (1 + 2u) ^ 2 #

(1 + 2u) / (1 + 2u)) (2 + 2u)

# => sqrt (t ^ 2 + t) = (u (u + 1)) / (1 + 2u)

#t = 1 => u ^ 2 - 2u - 1 = 0 => u = 1 + sqrt (2)

#t = 2 => u ^ 2 - 4 u - 2 = 0 => u = 2 + sqrt (6)

# "(luăm soluția cu semnul + deoarece" u - t = sqrt (…)> 0 ")" #

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 2 2 3 4 5 6 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

# = 2 int (u ^ 4 + 2 u ^ 3 + u ^ 2) / (8 u ^ 3 + 12 u ^ 2 + 6 u +

= 2 int (u / 8 + 1/16) "" du - 2 int (u ^ 2/2 + u / 2 + 1/16)

1 = 2 + u) / 16 - 2 int (A / (1 + 2u) + B / (1 + 2u) ^ 2 + C /

# "(împărțirea în fracții parțiale)" #

# => A = 1/8, B = 0, C = -1 / 16 #

= 2 (u ^ 2 + u) / 16-21n (| 1 + 2u |) / 16-2 / (64 (1 + 2u)

# = (u 2 + u) / 8 - ln (| 1 + 2u |) / 8 - 1 / (32 (1 + 2u)

# "Vom evalua între" u = 1 + sqrt (2) "și" u = 2 + sqrt (6)

# "și obținem valoarea" #

#F (1) = 1,935 #