Care este ortocentrul unui triunghi cu colțuri la (9, 5), (3, 8) și (5, 6)?

Răspuns:

Etapele: (1) găsiți versanții de pe 2 laturi, (2) găsiți pantele liniilor perpendiculare pe acele laturi, (3) găsiți ecuațiile liniilor cu acele pante care trec prin vârfurile opuse, (4) găsiți punctul în care acele linii se intersectează, care este ortocentrul, în acest caz #(6.67, 2.67)#.

Explicaţie:

Pentru a gasi orthocenterul unui triunghi gasim pantele (gradienti) ale doua laturi, apoi ecuatiile liniilor perpendiculare pe acele laturi.

Putem folosi acele pante plus coordonatele punctului opus părții relevante pentru a găsi ecuațiile liniilor perpendiculare pe laturile care trec printr-un unghi opus: acestea se numesc "altitudini" pentru laturi.

În cazul în care altitudinile pentru două dintre laturile cruce este orthocenter (altitudinea pentru a treia parte ar trece, de asemenea, prin acest punct).

Să ne eticheteze punctele pentru a le face mai ușor să se refere la ele:

Punctul A = #(9, 5)#

Punctul B = #(3, 8)#

Punctul C = #(5, 6)#

Pentru a găsi panta, utilizați formula:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Nu vrem aceste pante, totuși, dar pantele liniilor perpendiculare (la unghiuri drepte) cu ele. Linia perpendiculară pe o linie cu panta # M # are pantă # -1 / m #, astfel încât linia perpendiculară pe # # AB are pantă #-2# și linia perpendiculară pe # # BC are pantă #1#.

Acum găsim ecuațiile altitudinilor punctului C (vizavi de AB) și punctului A (vizavi de BC) respectiv înlocuind coordonatele acelor puncte în ecuația

# Y = mx + c #

Pentru punctul C, altitudinea este:

# 6 = -2 (5) + c # care dă # C = 6 + 10 = 16 # prin urmare #y = -2x + 16 #

În mod similar, pentru punctul A:

# 5 = 1 (9) + c # care dă # c = 5-9 = -4 # astfel încât ecuația este:

# y = x-4 #

Pentru a găsi ortocenterul, trebuie doar să găsim punctul în care aceste două linii traversează. Putem să le echivalăm unul cu celălalt:

# -2x + 16 = x-4 #

rearanjarea, # 3x = 20 până la x ~ ~ 6,67 #

Înlocuiți în oricare dintre ecuații pentru a găsi # Y # valoare, care este #2.67#.

Prin urmare ortocenterul este punctul #(6.67, 2.67)#.