Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Ai putea rezolva asta?

Răspuns:

# x = pi / 5 #

# x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Explicaţie:

Noi avem:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - păcat (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx-2 (1-cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx-2 (cosx-cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x-3cosx-1 #

Lăsa #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Vedem asta #u = -1 # este un factor. Folosim diviziunea sintetică

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2-2x1) #

Ecuația # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # pot fi rezolvate folosind formula patratică.

# x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

# x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

# x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

# x ~~ 0.809 sau -0.309 #

De cand #cosx = u #, primim # x = pi / 5, (3pi) / 5 # și # Pi #.

Unde # N # este un număr întreg.

Graficul graficului # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # și # y_2 = cos (3x) # confirmă că soluțiile sunt punctele de intersecție.

Sperăm că acest lucru vă ajută!

Răspuns:

# x = (2k + 1) pi #

# x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Explicaţie:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, sau

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Cercul unitar și proprietatea cosului dau ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

A. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

# x = (2k + 1) pi #

Dacă k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, # x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Dacă k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Dacă k = 0 -> # x = - pi / 5 #, sau # x = (9pi) / 5 # (Co-terminal)

Dacă k = 2 -> # x = (3pi) / 5 #

În intervalul închis 0, 2pi, răspunsurile sunt:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Verificați prin calculator.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0,119 - 0,428 = - 309 #. Demonstrat

# x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Demonstrat

Răspuns:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # # NrarrZ

Explicaţie:

# Rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# Rarr-cos2x = cos3x #

# Rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Fie #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # # NrarrZ

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# Rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi # # # Nrarr

Răspuns:

Soluția generală nu necesită formula triple unghiulară și este

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # sau # circulație circulară + 72 circ #

pentru întreg # # K.

Explicaţie:

Nu-mi place să citesc răspunsurile altor persoane înainte de a-mi rezolva singură întrebarea. Dar un răspuns recomandat pentru aceasta a apărut. În timpul privirii mele rapide, nu am putut observa că ar părea destul de complicată pentru ceea ce mi se pare a fi o întrebare relativ ușoară. O să-i fac o lovitură.

#sin ^ 4x - cos ^ 4x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Am fost pe Socratic pentru câteva săptămâni, iar acest lucru apare ca tema mea: soluția generală la #cos x = cos a # este # x = a a + 360 ^ circ k quad # pentru întreg # K. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Luăm semnele separat. Mai intai:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Minus următor.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# circulație circulară + 72 circ #

Dacă citiți aceste lucruri îndeaproape, puteți crede că fac o greșeală cu modul în care manipulez # # K. Dar de atunci # # K variază deasupra tuturor numerelor întregi, substituții cum ar fi #k to -k # și #k la k + 1 # sunt permise și le alunec pentru a păstra semnele #+# când pot fi.

Verifica:

Să alegem un cuplu pentru a verifica. Sunt destul de fericit să știu #cos 36 ^ circ # este jumătate din Raportul de Aur, dar nu o să lucrez cu exactitate, ci doar să-i pun pe Wolfram Alpha să se asigure.

circulație circulară circ.

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #