Care este limita ca t apropie 0 de (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / păcat (2t) = 3 #. Noi determinăm acest lucru prin utilizarea regulii L'spitalului.

Pentru a parafraza, regula lui L'Hospital afirmă că atunci când este dată o limită a formei #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, Unde #fa)# și #G (a) # sunt valori care determină ca limita să fie nedeterminată (cel mai adesea, dacă ambele sunt 0 sau o formă de), atunci atâta timp cât ambele funcții sunt continue și diferențiate la și în vecinătatea #A,# se poate spune că

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Sau în cuvinte, limita coeficientului a două funcții este egală cu limita coeficientului derivatelor lor.

În exemplul furnizat, avem # f (t) = tan (6t) # și #G (t) = sin (2t) #. Aceste funcții sunt continue și se pot diferenția în apropiere # t = 0, tan (0) = 0 și păcat (0) = 0 #. Astfel, inițiativa noastră #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Prin urmare, ar trebui să folosim regulile L'Hospital. # d / tan tan (6t) = 6 sec ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t). Prin urmare…

(6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 sec ^ 2 (6t)) /)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 /

Răspuns:

Reqd. Lim.#=3#.

Explicaţie:

Vom găsi asta Limită utilizând următoarele Rezultate standard:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Observați că, #tan (6t) / sin (2t) = Frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Aici, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

În mod similar, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Prin urmare, Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.