Cum diferentiati f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) folosind regula produsului?

Răspuns:

Mai întâi folosiți regula de producție pentru a obține

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x)

Apoi folosiți liniaritatea derivatelor și definițiilor derivatelor funcției pentru a obține

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

Explicaţie:

Regula de produs implică preluarea derivatului funcției care este multiplu de două (sau mai multe) funcții în formă #f (x) = g (x) * h (x) #. Regula de produs este

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x).

Aplicând-o la funcția noastră,

#f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) #

Noi avem

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x).

În plus, trebuie să folosim liniaritatea derivării, asta

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x).

Aplicând acest lucru, avem

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (sinx)) #.

Trebuie să facem derivații individuali ai acestor funcții pe care le folosim

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Acum avem

(x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) # d / dx f (x) = (1 * x ^.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x)

În acest moment ne-am îngropat puțin

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx)

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #