Cum se dovedește arcsin x + arccos x = pi / 2?

Răspuns:

așa cum se arată

Explicaţie:

Lăsa

# Arcsinx = theta #

atunci

# X = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => Arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Răspuns:

Afirmația este adevărată atunci când funcțiile inverse ale trig-ului se referă la valorile principale, dar aceasta necesită o atenție mai mare pentru a arăta decât celelalte răspunsuri.

Atunci când funcțiile trig inverse sunt considerate multivaluează, de exemplu, obținem un rezultat mai nuanțat

#x = păcat ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # dar #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Trebuie să scăpăm pentru a ajunge # Pi / 2 #.

Explicaţie:

Aceasta este mai complicată decât pare. Celălalt răspuns nu-i plătește respectul potrivit.

O convenție generală este de a utiliza litera mică #arccos (x) # și #arcsin (x) # ca expresii multivate, fiecare indicând fiecare valoare a cărei cosinus sau sinus are o valoare dată #X#.

Semnificația sumei acestor combinații este într-adevăr o combinație posibilă, iar acestea nu ar da întotdeauna # Pi / 2. # Nici măcar nu vor da niciodată unghiurile cotermenului # pi / 2 + 2pi k quad # întreg # # K, așa cum vom arăta acum.

Sa vedem cum functioneaza mai intai cu functiile trig inverse multivalute. Amintiți-vă în general # cos x = cos a # are soluții # x = a + 2pi k quad # întreg # # K.

# c = arccos x # înseamnă cu adevărat

#x = cos c #

#s = arcsin x # înseamnă cu adevărat

#x = sin s #

#y = s + c #

#X# joacă rolul unui parametru real care se mută din #-1# la #1#. Vrem să rezolvăm # Y #, găsiți toate valorile posibile ale # Y # care au un #x, s # și # C # care face aceste ecuații simultane # x = cos c, x = sin s, y = s + c # Adevărat.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Folosim soluția generală de mai sus despre egalitatea cosinelor.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # întreg # # K

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Deci, obținem rezultatul mult mai nebulos, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Este permisă aprinderea semnului # K. #)

Să ne concentrăm acum pe valorile principale, pe care le scriu cu majuscule:

Spectacol #text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi /

Declarația este într-adevăr adevărată pentru valorile principale definite în mod obișnuit.

Suma este definită doar (până când ajungem destul de adânc în numere complexe) pentru # -1 le x le 1 # deoarece sinusurile și cosinusele valide sunt în acel interval.

Ne vom uita la fiecare parte a echivalentului

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - text {Arc}

Vom lua cosinusul ambelor părți.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (textul {Arc}} {sin} (x)) = x #

Deci, fără să ne îngrijorăm de semne sau de valori principale, suntem siguri

# cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi /

Partea dificilă, partea care merită respectă, este următorul pas:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} NU SUNT SIGUR INCA

Trebuie să călcăm cu grijă. Să luăm pozitiv și negativ #X# separat.

Primul # 0 le x le 1 #. Asta inseamna ca valorile principale ale ambelor functii trig inverse sunt in primul cvadrant, intre #0# și # Pi / 2. # Constrânși la primul cvadrant, cosinusele egale implică unghiuri egale, așa că am ajuns la concluzia # x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin}

Acum # -1 le x <0. # Valoarea principală a semnului invers este în al patrulea cadran și pentru #x <0 # de obicei, definim valoarea principală din interval

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) le pi #

Valoarea principală pentru cosinusul negativ invers este al doilea cadran, # pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Deci avem două unghiuri în cel de-al doilea cvadrant ale cărui cosine sunt egale și putem concluziona că unghiurile sunt egale. Pentru #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin}

Deci, oricum, # text {arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x)