Care este ecuația liniei tangente la f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x la x = sqrtpi?

Răspuns:

Ecuația este de aproximativ:

#y = 3.34x - 0.27 #

Explicaţie:

Pentru a începe, trebuie să determinăm #f '(x) #, astfel încât să știm ce pantă de #f (x) # este în orice moment, #X#.

(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

utilizând regula produsului:

(d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)

Acestea sunt derivate standard:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / sin sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Astfel, derivatul nostru devine:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Introducerea datei date #X# valoare, panta la #sqrt (pi) # este:

(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)

Aceasta este panta liniei noastre în acest punct # x = sqrt (pi) #. Apoi putem determina interceptul y prin setarea:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Aceasta ne dă ecuația ne-simplificată pentru linia noastră:

(f) (pi)) = (e) (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)

(e) (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) + 2cos))) x + b #

Rezolvând pentru b, vom ajunge la formula enervant de complicată:

(pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) # sq = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt

Deci linia noastra sfarseste prin a fi:

(pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ pi) (sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)

Dacă calculăm cu adevărat ceea ce echivalează acești coeficienți enorm de mari, ajungem la linia aproximativă:

#y = 3.34x - 0.27 #