Cum integrați int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Răspuns:

Folosește o # U #-substituție pentru a obține # -3lnabs (pat copii (t)) + C #.

Explicaţie:

În primul rând, rețineți că pentru că #3# este o constantă, putem scoate din integral să simplificăm:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / pat copii (t) dt #

Acum - și aceasta este cea mai importantă parte - observați că derivatul lui #cot (t) # este # -Csc ^ 2 (t) #. Deoarece avem o funcție și derivatul său prezent în același integral, putem aplica a # U # o astfel de substituție:

# U = pat copii (t) #

# (Du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# Du = -csc ^ 2 (t) dt #

Putem converti pozitiv # Csc ^ 2 (t) # la un astfel de negativ:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / pat copii (t) dt #

Și aplicați substituția:

# -3int (du) / u #

Noi stim aia #int (du) / u = lnabs (u) + C #, astfel încât evaluarea integrala se face. Trebuie doar să inversăm înlocuitorul (puneți răspunsul în termeni de # T #) și atașați asta #-3# la rezultat. De cand # U = pat copii (t) #, putem spune:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (pat copii (t)) + C #

Și asta e tot.

Răspuns:

# 3n | csc 2t -cot 2t | + const. = 3in | t t | + const. #

Explicaţie:

# 3 int csc ^ 2 t / cott t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Sa nu uiti asta

#sin 2t = 2sint * cost #

Asa de

# = 3int dt / ((1/2) păcat 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Așa cum găsim într-un tabel de integrali

(de exemplu, tabelul de integrale care conține Csc (ax) în SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2)

obținem acest rezultat

# = 3n | csc2t-cot2t | + const = 3in | t t | + const. #