Cum integrați int sec ^ -1x prin integrarea prin metode?

Răspuns:

Raspunsul este # = X "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Explicaţie:

Avem nevoie

# (Sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integrarea pe părți este

# Intu'v = uv-intuv '#

Aici, noi avem

# U '= 1 #, #=>#, # U = x #

# V = "arc" secx #, #=>#, # V '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Prin urmare, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Efectuați al doilea integral prin substituire

Lăsa # X = # secu, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = Int (secu (+ secu tanu) du) / (+ tanu Secu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Lăsa # V = + tanu # Secu, #=>#, # V = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Asa de, # Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = LNV #

# = Ln (+ tanu Secu) #

# = Ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

In cele din urma, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Răspuns:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)

Explicaţie:

Alternativ, putem folosi o formulă puțin cunoscută pentru a elabora integrale ale funcțiilor inverse. Formula afirmă:

(x) -f (f ^ -1 (x)) + C #

Unde # F ^ -1 (x) # este invers #f (x) # și #F (x) # este anti-derivatul lui #f (x) #.

În cazul nostru, obținem:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)

Acum, tot ce trebuie să facem este anti-derivatul # F #, care este integral integrat secant:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x)

Conectând acest lucru înapoi la formulă, rezultă răspunsul nostru final:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)

Trebuie să fim atenți la simplificare #tan (sec ^ -1 (x)) # la #sqrt (x ^ 2-1) # deoarece identitatea este valabilă numai dacă #X# este pozitiv. Cu toate acestea, suntem norocoși deoarece putem rezolva acest lucru punând o valoare absolută pe celălalt termen în interiorul logaritmului. Aceasta elimină, de asemenea, necesitatea primei valori absolute, deoarece tot ceea ce se află în interiorul logaritmului va fi întotdeauna pozitiv:

# Xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #