Găsiți f și calculați integralul?

Răspuns:

Vezi mai jos

Explicaţie:

# E ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0, qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (dy) / (1 + e ^ y) = - dx #

# z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z dy #

#int (dz) / (z (1 + z)) = - int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

#in (z / (1 + z)) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

Utilizarea IV:

• # e ^ (C - x) = 1 / (e ^ (- y) + 1) #

• #lim_ (x la 0) y = + oo implică C = 0 #

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

# e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (- x)) = 1 / (e ^

#y = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

SPECTACOL pic

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ') dx #

(int2 (ln2) ^ 1 y ' dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' dx #

# ln (e-1) # (culoare roșie) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) =

#implies I - ln (e - 1) = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx - int_ (ln2) ^ 1xy

• # int_ (ln2) ^ 1 1 x x dx gt 0 #

• # int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx gt 0 #

#implies I lt ln (e-1) #

Răspuns:

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

Nu puteam încă să demonstrez inegalitatea, dar am găsit o inegalitate mai puternică.

Explicaţie:

Lăsa #g (x) = e ^ (f (x)) # astfel încât, folosind regula de lanț:

#g '(x) = f' (x) e ^ (f (x)) #

Rețineți acum că:

#f (x) = ln (g (x)) #, asa de:

#f '(x) = (g' (x)) / (g (x)) #

Substituind în ecuația inițială avem:

#g (x) + (g '(x)) / (g (x)) +1 = 0 #

și prin definiție #g (x)> 0 #:

# (dg) / dx + g ^ 2 (x) + g (x) = 0 #

care este separabilă:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + 1)) = -dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

Descompunerea primului membru folosind fracțiuni parțiale:

# 1 / (g (g + 1)) = 1 / g-1 / (g + 1) #

asa de:

#int (dg) / g-int (dg) / (g + 1) = -int dx #

#in g - ln (g + 1) = -x + c #

Utilizând proprietățile logaritmilor:

# n (g / (g + 1)) = - x + c #

# g / (g + 1) = e ^ (c-x) #

Acum rezolvând pentru # G #:

#g = e ^ (c-x) (g + 1) #

#g (1-e ^ (c-x)) = e ^ (c-x) #

și, în sfârșit:

(x) = e ^ (c-x) / (1-e ^ (c-x)) #

Acum:

(cx)) = ln (e ^ (cx)) -ln (1-ce ^ -x) #

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

Putem determina # C # din starea:

# x (x -> 0) f (x) = + oo #

La fel de:

(x-0) c-x -ln (1-e ^ (c-x)) = c-ln

care este finit, dacă nu # c = 0 #.

Atunci:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

Luați în considerare acum integral:

(x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e ^ -x / (1-e ^ -x)

La fel de:

# d / dx (e ^ -x / (1 -e ^ -x) (x + 1)) = - (x * e ^ x +

putem observa că în intervalul de integrare funcția este strict descrescătoare, deci valoarea maximă # # M apare pentru # x = LN2 #:

(Ln2 + 1) = (ln2 + 1) = (1-e ^ -ln2)

Atunci:

(xn) = 1 (x1) (x + 1) dx <= M (1-ln2)

(x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

Răspuns:

Iată un altul

Explicaţie:

#A)#

# E ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 # # <=> ^ (* E ^ (- f (x)) #

# 1 + f '(x) e ^ (- f (x)) + e ^ (- f (x)) = 0 # #<=>#

# -F '(x) e ^ (- f (x)) = 1 + e ^ (- f (x)) # #<=>#

# (E ^ (- f (x))) '= 1 + e ^ (- f (x)) # #<=>#

# (1 + e ^ (- f (x))) '= 1 + e ^ (- f (x)) ## <=> ^ (X> 0) #

deci acolo # C ##în## RR #, # 1 + e ^ (- f (x)) = ce ^ x #

• #lim_ (xto0) e ^ (- f (x)) = _ (xto0, y -> - oo) ^ (- f (x) = u) lim_ (uto-oo) e ^ u = 0 #

și #lim_ (xto0) (- e ^ (- f (x)) + 1) = lim_ (xto0) ce ^ x # #<=>#

# c = 1 #

Prin urmare, # 1 + e ^ (- f (x)) = e ^ x # #<=>#

#E ^ (- f (x)) = e ^ x-1 # #<=>#

# -F (x) = ln (e ^ x-1) # #<=>#

#f (x) = - ln (e ^ x-1) # #color (alb) (aa) #, #X> 0 #

#b) #

# Int_ln2 ^ 1 (e ^ f (x) (x + 1)) dx <##ln (e-1) #

#f (x) = - ln (e ^ x-1) #,#X> 0 #

#f '(x) = - e ^ x / (e ^ x-1) #

# -F '(x) = e ^ x / (e ^ x-1)> = (x + 1) / (e ^ x-1) # fara ''#=#''

• # Int_ln2 ^ 1f '(x) dx> int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) dx # #<=>#

# Int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) dx <## - f (x) _ In2 ^ 1 = -f (1) + f (0) = ln (e-1) #

Cu toate acestea, avem

# E ^ f (x) (x + 1) = e ^ (- ln (e ^ x-1)) (x + 1) = (x + 1) / (e ^ x-1) #

Așadar, # Int_ln2 ^ 1 (x + 1) e ^ f (x) dx <##ln (e-1) #