Evaluați integralul nedeterminat: sqrt (10x-x ^ 2) dx?

Răspuns:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Explicaţie:

# "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Completați pătratul, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Substitui # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Substitui # U = 5sin (v) # și # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Simplifica, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Rafina, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Scoateți constanta, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Aplicați formule cu unghi dublu, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Scoateți constanta, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integra, Nr.25 / 2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Înlocuiți-l înapoi # V = arcsin (u / 5) # și # u = x-5 #

Nr.25 / 2 (arcsin ((x-5) / 5) + anula (1 / 2sin) (anula (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Simplifica, Nr.25 / 2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Rafina, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, Unde # C # este constanta integrarii.

Tadaa: D

Răspuns:

# = 1/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20)) + 25 / 2arcsin ((x-5)

Explicaţie:

Ce este #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Rețineți că domeniul funcției integrate este în cazul în care cadranul interior este pozitiv, adică #x în 0, 10 #

Această expresie poate fi integrată folosind substituții. Deși o cale posibilă pentru integrare nu se prezintă imediat, dacă concurăm pătratul, se poate efectua o substituție trigonometrică:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Ceea ce observăm este în forma clasică de substituție trigonometrică, adică pătratul unui număr minus pătratul unei linii #X# funcţie.

În primul rând, pentru a scăpa de liniar, am lăsat #u = x-5 #, care dă # Du = dx #, astfel încât să putem rescrie integralele de mai sus ca:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Acum, pentru cea de-a doua substituție, lăsați #u = 5sintheta #, care modifică integral la:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (putem ignora parantezele valorii absolute)

Desigur, # # Dx nu ne ajută, deci diferențiem ecuația de substituție pentru a obține: #du = 5costheta d theta #, astfel încât integralele devin:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Acum putem folosi o formula dubla pentru a face integrarea # cos ^ 2 theta # Mai ușor:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Deci, integralul devine:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (folosind o formulă cu unghi dublu)

Acum, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Prin urmare, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25)

Și, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5)

# = 1/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20)) + 25 / 2arcsin ((x-5)

Lățimea unui teren de joacă dreptunghiulară este de 2 - 5 picioare, iar lungimea este de 3x + 9 picioare. Cum scrieți un polinom P (x) care reprezintă perimetrul și apoi evaluați acest perimetru și apoi evaluați acest polinom perimetral dacă x este de 4 picioare?

Perimetrul este de două ori suma lățimii și lungimii. P (x) = 2 ((2 x 5) + (3x + 9)) = 2 (5x + 4) = 10x + 8 P (4) = 10 (4) + 8 = x = 4 înseamnă o lățime de 2 (4) -5 = 3 și o lungime de 3 (4) + 9 = 21 astfel încât un perimetru de 2 (3 + 21) = 48. quad sqrt

Evaluați Integralul int (2 + x + x ^ 13) dx?

Int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2 / x + 14 ^ 14 c Utilizam regula de putere pentru integrare, (n + 1) / (n + 1) (+ c) pentru orice constanta n! = -1 Deci, x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c

Găsiți f și calculați integralul?

Vezi mai jos e ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 e ^ y + y' + 1 = 0, qquad y = 1 + e ^ y) = - dx z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z dy int (dz) - 1 / z) = - int dx ln (z / (1 + z)) = C - xe ^ y / (X - 0) y = + oo implică C = 0 e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ x = e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (x)) = 1 / (1 + y ') dx = - int_ (ln2) ^ 1 1 (1 + y') + x dx -color (roșu) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' dx culoare (roșu) ln (e / 1) implică I-ln (e-1) = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx int_ (ln2) ^ 1 1 x dx gt 0 int_ (ln2) ^ 1xy' dx gt 0 implică I lt ln (e-1)