Cum simplificați 2cos ^ 2 (4Θ) -1 folosind o formulă cu unghi dublu?

Răspuns:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Explicaţie:

Există mai multe formule cu unghi dublu pentru cosinus. De obicei, cel preferat este cel care transformă un cosinus într-un alt cosinus:

# cos cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Putem să luăm de fapt această problemă în două direcții. Cea mai simplă cale este de a spune # X = 4 theta # așa că ajungem

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

care este destul de simplificată.

Modul obișnuit de parcurs este de a obține acest lucru în termeni de # cos cosul #. Începem prin a lăsa # X = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2-1) ^ 2-1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Dacă am stabilit # x = cos theta # am avea al optulea polinom Chebyshev de primul fel, # T_8 (x) #, satisfăcător

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Cred că prima cale probabil a fost după aceea.