Răspuns:
Deja a răspuns aici.
Explicaţie:
Trebuie să găsiți mai întâi # Sin18 ^ @ #, pentru care sunt disponibile detalii aici.
Apoi puteți obține # Cos36 ^ @ # după cum se arată aici.
Răspuns:
Rezolvăm #cos (2 theta) = cos (3 theta) # sau # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # pentru # x = cos 144 ^ circ # si ia #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Explicaţie:
Primim #cos 36 ^ circ # ușor indirect din formula unghiurilor duble și triple pentru cosinus. Este destul de cool cum se face, și are o surpriză finală.
Ne vom concentra #cos 72 ^ circ #. Unghiul # Theta = 72 ^ # Circ satisface
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
Să rezolvăm asta # # Teta, reamintind #cos x = cos a # are soluții # x = pm a + 360 ^ circa k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # sau # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
Aceasta include # 360 ^ circ k # astfel încât să putem renunța la partea "sau".
Nu scriu un mister aici (în ciuda sfârșitului surpriză), așa că o voi menționa #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) este de asemenea o soluție validă și vedem cum este legată de întrebare.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Acum lasa # x = cosul theta #
# 2 x ^ 2 - 1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Noi stim # x = cos (0 ori 72 ^ circ) = 1 # este o soluție # (X-1) # este un factor:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Cadranul are rădăcini
# x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Cel pozitiv trebuie să fie #cos 72 ^ circ # și cea negativă #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}
Acesta este răspunsul. Surpriza este că este jumătate din Raportul de Aur!
