Răspuns:
Este exact una dintre rădăcinile lui #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # Unde #T_n (x) # este # N #a polinomului Chebyshev de primul fel. Aceasta este una dintre cele patruzeci și șase rădăcini ale:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 +1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)
Explicaţie:
# 58 ^ # Circ nu este un multiplu de # 3 ^ # Circ. Multiple de # 1 ^ # Circ care nu sunt multiplii # 3 ^ # Circ nu sunt constructibile cu un straightedge si busola, iar functiile lor trig nu sunt rezultatul unei compozitii de numere intregi care folosesc adunarea, scaderea, multiplicarea, diviziunea si ingradirea pătratului.
Asta nu înseamnă că nu putem scrie o expresie #cos 58 # circ #. Să luăm semnul gradului ca un factor de # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {58 ^ circ} + e ^ {- 58 ^ circ}) #
Nu este de ajutor.
Putem încerca să scriem o ecuație polinomică a cărei rădăcină este #cos 58 # circ # dar probabil va fi prea mare pentru a se potrivi.
# Theta = 2 ^ # Circ este #180#a unui cerc. De cand #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # asta inseamna #cos 2 ^ circ # satisface
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circa-44 theta) = cos (46 theta) #
Să rezolvăm asta # # Teta primul. #cos x = cos a # are rădăcini # x = pm a + 360 ^ circa k, # întreg # # K.
# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k sau theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
E o mulțime de rădăcini și vedem # Theta = 58 ^ # Circ printre ei.
Polinoamele #T_n (x) #, numit polinoame Chebyshev de primul fel, satisface #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Ei au coeficienți întregi. Știm primele câteva din formulele duble și triple de unghi:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # asa de# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # asa de# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # asa de # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # asa de # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Există o relație frumoasă de recursiune pe care o putem verifica:
(X) = x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Așadar, în teorie putem genera aceste valori atât de mari # N # așa cum ne pasă.
Dacă lăsăm # x = cos theta, # ecuația noastră
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
devine
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha este fericit să ne spună care sunt acestea. Voi scrie ecuația doar pentru a testa redarea matematică:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 +1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)
Da, acest răspuns este mult timp, mulțumesc Socratic. Într-adevăr, unul dintre rădăcinile polinomului cu gradul 46 cu coeficienți întregi este # cos 58 ^ circ #.
