Ce este f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx dacă f (pi / 6) = 1?

Răspuns:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Explicaţie:

Începem prin divizarea integrala în trei:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx +

(x) dx-cos (x) # dx-int

Voi numi integratul stâng integrat 1 și cel integru drept 2

Integral 1

Aici avem nevoie de integrare prin părți și un mic truc. Formula pentru integrarea prin părți este:

(x) f (x) g (x) dx = f (x)

În acest caz, voi lăsa #f (x) = e ^ x # și #G '(x) = cos (x) #. Avem asta

#f '(x) = e ^ x # și #G (x) = sin (x) #.

Acest lucru face parte integrantă din noi:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin

Acum putem aplica din nou integrarea cu piese, dar de data aceasta #G '(x) = sin (x) #:

(x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x)

(x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x)

Acum putem adăuga integral la ambele părți, oferind:

# Xint e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos

# = E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Putem mai întâi să folosim identitatea:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Asta da:

(x) dx = int sin ^ (x) / cos ^ 3 (x) dx = int) dx #

Acum putem folosi identitatea pithagoreană:

# Păcat ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x)

Acum putem introduce o substituție u cu # U = cos (x) #. Apoi divizăm prin derivat, # -Sin (x) # să se integreze cu privire la # U #:

(1) (2) (1) (2) (2) (2) 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du =

1 = (1) (2) (2) (2) (2) (2) C #

Finalizarea integralului original

Acum, că știm Integral 1 și Integral 2, le putem conecta înapoi la integralele inițiale și se pot simplifica pentru a obține răspunsul final:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Acum, când cunoaștem antiderivativul, putem rezolva pentru constanta:

#f (pi / 6) = 1 #

# E ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (/ 6 pi) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Aceasta ne dă faptul că funcția noastră este:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #