Care este vectorul unic care este ortogonal față de planul care conține (8i + 12j + 14k) și (2i + 3j - 7k)?

Răspuns:

# vecu = <(3sqrt (13)) / 13, (2sqrt (13)) / 13, 0> #

Explicaţie:

Un vector care este ortogonal (perpendicular, norma) la un plan care conține doi vectori este, de asemenea, ortogonal față de vectorii dat. Putem găsi un vector care este ortogonal pentru ambele vectori dat prin luarea produsului lor cruce. Apoi, putem găsi un vector unic în aceeași direcție ca vectorul respectiv.

Dat # veca = <8,12,14> # și # vecb = <2,3, -7> #, # # Vecaxxvecbeste găsit de

Pentru # I # componentă, avem

#(12*-7)-(14*3)=-84-42=-126#

Pentru # J # componentă, avem

#-(8*-7)-(2*14)=--56-28=84#

Pentru # # K componentă, avem

#(8*3)-(12*2)=24-24=0#

Vectorul nostru normal este # vecn = <-126,84,0> #

Acum, pentru a face acest vector unic, împărțim vectorul cu magnitudinea sa. Mărimea este dată de:

# | Vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | Vecn | = sqrt ((- 126) ^ 2 + (84) ^ 2 + (0) ^ 2) #

# | Vecn | = sqrt (15878 + 7056 + 0) = sqrt (22,932) = 42sqrt (13) #

Vectorul unității este apoi dat de:

# Vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) #

#vecu = (<-126,84,0>) / (42sqrt (13)) #

# vecu = 1 / (42sqrt (13)) <-126,84,0> #

sau echivalent,

# vecu = <-3 / (sqrt (13)), 2 / (sqrt (13)), 0> #

De asemenea, puteți alege să raționalizați numitorul:

# vecu = <(3sqrt (13)) / 13, (2sqrt (13)) / 13, 0> #