Cum integrați acest lucru? dx (x²-x + 1) M-am blocat pe această parte (imaginea a fost încărcată)

Răspuns:

= (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Explicaţie:

Continuand…

Lăsa # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# / int = 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Folosind un antiderivativ ce ar trebui să fie angajat în memorie …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

= (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Acesta este un mic integrat dificil, iar soluția nu va apărea evident la început. Deoarece aceasta este o fracțiune, am putea încerca să luăm în considerare utilizarea tehnicii fracțiilor parțiale, dar o analiză rapidă arată că acest lucru nu este posibil deoarece # X ^ 2-x + 1 # nu este factorabil.

Vom încerca să obținem acest integral într-o formă pe care o putem integra de fapt. Observați asemănarea dintre # Int1 / (x ^ 2 x + 1) dx # și # Int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; știm că cel din urmă integral evaluează # Arctanx + C #. Vom încerca, prin urmare, să ajungem # X ^ 2-x + 1 # în formă #k (x-a) ^ 2 + 1 #, apoi aplicați # # Arctanx regulă.

Va trebui să finalizăm pătratul # X ^ 2-x + 1 #:

# X ^ 2-x + 1 #

# = X ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + 3/4 #

^ 2 + # = (x-1/2) (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(foarte murdar, stiu)

Acum că o avem în forma dorită, putem proceda după cum urmează:

# Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #