Cercul A are un centru la (6, 5) și o suprafață de 6 pi. Cercul B are un centru la (12, 7) și o suprafață de 48 pi. Cercurile se suprapun?

Răspuns:

De cand

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # și

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

putem face un adevărat triunghi cu fețele pătrată 48, 6 și 40, astfel încât aceste cercuri se intersectează.

Explicaţie:

De ce gratuit # Pi #?

Zona este #A = pi r ^ 2 # asa de # R ^ 2 = A / pi. # Deci primul cerc are o rază # R_1 = sqrt {6} # și al doilea # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Centrele sunt #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # în afară.

Deci cercurile se suprapun daca #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

E atât de urât încât ai fi iertat că ai ajuns la calculator. Dar nu este cu adevărat necesar. Să facem un ocol și să vedem cum se face acest lucru folosind Trigonometria Ratională. Acolo ne ocupăm doar de lungimea pătrată, numită quadrances.

Să presupunem că vrem să încercăm dacă trei quadrances # A, B, C # sunt căderile între trei puncte coliniare, adică #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # sau #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # sau #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. O vom scrie ca

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

CUADRATURĂ, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

# C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Squaring din nou, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Se pare

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

este a discriminantă pentru triunghiuri. Am arătat doar dacă #mathcal {A} = 0 # asta înseamnă că avem triunghi degenerat, format din trei puncte coliniare. Dacă #mathcal {A}> 0 # atunci avem a adevărat triunghi, fiecare parte mai mică decât suma celorlalte două. Dacă #mathcal {A} <0 # nu avem laturi care să satisfacă inegalitatea triunghiului și uneori numim acest lucru imaginea triunghiului.

Să ne întoarcem la întrebarea noastră armată cu noul nostru discriminant triunghi #mathcal {A} #. Dacă cercurile se intersectează, putem face un triunghi al celor două centre și o intersecție, astfel încât laturile vor avea lungimi # # R_1, # # R_2, și distanța dintre centre #(6,5)# și #(12,7)#. Noi avem

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C -A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40-648)

#mathcal {A}> 0 # deci avem un triunghi real, adică cercuri suprapuse.

Da, pentru orice triunghi #mathcal {A} = 16 (text {zona}} ^ 2. #

Verificați: Alpha

Cercul A are un centru la (12, 9) și o suprafață de 25 pi. Cercul B are un centru la (3, 1) și o suprafață de 64 pi. Cercurile se suprapun?

Da Mai întâi trebuie să găsim distanța dintre centrele celor două cercuri. Acest lucru se datorează faptului că această distanță este în cazul în care cercurile vor fi cele mai apropiate împreună, astfel încât, dacă se suprapun, va fi de-a lungul acestei linii. Pentru a gasi aceasta distanta putem folosi formula distanta: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Acum trebuie să găsim raza fiecărui cerc. Știm că zona unui cerc este pir ^ 2, deci putem folosi pentru a rezolva r. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 pi (r_

Cercul A are un centru la (3, 5) și o suprafață de 78 pi. Cercul B are un centru la (1, 2) și o suprafață de 54 pi. Cercurile se suprapun?

În primul rând, avem nevoie de distanța dintre cele două centre, care este D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Delta) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Acum avem nevoie de suma raziilor, deoarece D> (r_1 + r_2) D = (r_1 + r_2); "Cercuri doar atingeți" D <(r_1 + r_2); "Cercurile se suprapun" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 " r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3.61, astfel încât cercurile se suprapun. (Y-2) ^ - 78) = 0 [-20,33, 19,67, -7,36, 12,64]}

Cercul A are un centru la (1, 5) și o suprafață de 24 pi. Cercul B are un centru la (8, 4) și o suprafață de 66 pi. Cercurile se suprapun?

Da, cercurile se suprapun. Distanța dintre centrul cercului A și centrul cercului B = 5sqrt2 = 7.071 Suma razei lor este = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Dumnezeu să binecuvânteze .... Sper că explicația este utilă.