Cercul A are un centru la (3, 5) și o suprafață de 78 pi. Cercul B are un centru la (1, 2) și o suprafață de 54 pi. Cercurile se suprapun?

Răspuns:

da

Explicaţie:

În primul rând, avem nevoie de distanța dintre cele două centre, care este # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Acum avem nevoie de suma de raze, deoarece:

#D> (r_1 + r_2); "Cercurile nu se suprapun" #

# D = (r_1 + r_2); "Cercuri doar atingeți" #

#D <(r_1 + r_2); "Cercurile se suprapun" #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, astfel încât cercurile se suprapun.

dovada:

(x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

Răspuns:

Acestea se suprapun dacă # sqq {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}

Putem sări peste calculator și verificăm # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # sau #4(13)(54) > 11^2# care este cu siguranță, deci da, se suprapun.

Explicaţie:

Zona cercului este bineînțeles #pi r ^ 2 # așa că am împărțit gratuit # Pi #s.

Avem radiate pătrat

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

și distanța între centre

# D ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Practic, vrem să știm dacă # r_1 + r_2 ge d #, adică dacă putem face un triunghi din două raze și segmentul dintre centre.

Lungimile pătrată sunt cu totul frumos și este destul de nebun să ajungem în mod instinctiv pentru calculator sau computer și să începem să luăm rădăcini pătrate.

Nu trebuie să facem asta, dar este nevoie de o mică ocolire. Să folosim formula lui Heron, să sunăm în zonă # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # Unde # s = (a + b + c) / 2 #

(A + b + c) / 2) ((a + b + c) / 2) -a) + b + c) / 2) -c) #

(A + b + c-2c) (a + b + c-2b)

(A + b + c) (a + b + c) (a + b-c)

E deja mai bine decât Heron. Dar vom continua. Voi sari peste tediu.

(A ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) # 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^

Este frumos simetric, așa cum ne-am aștepta pentru o formulă de zonă. Să-l facem mai puțin simetric. rechemare

# (a ^ 2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ + 2a ^ 2b ^

Adăugarea, (A2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 #

Aceasta este o formulă pentru suprafața pătrată dintr-un triunghi având în vedere lungimea pătrată a laturilor. Când acestea din urmă sunt raționale, la fel și cele dintâi.

Să încercăm. Suntem liberi să desemneze laturile, totuși ne place; pentru calculul mâinii este cel mai bun pentru a face # C # cea mai mare parte, # c ^ 2 = 78 #

# A ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

(54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Chiar înainte de a calcula mai mult, putem vedea că avem un rezultat pozitiv # 16Q ^ 2 # deci un triunghi real cu o arie pozitivă, cercuri care se suprapun.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Dacă ar fi obținut o valoare negativă, o zonă imaginară, nu este un triunghi adevărat, așa încât cercuri care nu se suprapun.