Există o metodă sistematică de a determina numărul de numere între 10 și, să zicem, 50, divizibil prin cifrele unităților lor?

Răspuns:

Numărul de numere între #10# și # # 10k divizibile prin cifrele lor de unități pot fi reprezentate ca

#sum_ (n = 1) ^ 9f ((k * gcd (n, 10)) / n) #

Unde #fl (x) # reprezintă funcția de planșeu, maparea #X# la cel mai mare întreg mai mic sau egal cu #X#.

Explicaţie:

Aceasta este echivalentă cu întrebarea câtor numere întregi #A# și # B # există unde # 1 <= b <5 # și # 1 <= a <= 9 # și #A# diviziunilor # 10b + un #

Rețineți că #A# diviziunilor # 10b + a # dacă și numai dacă #A# diviziunilor # 10b #. Astfel, este suficient să găsim cât de multe astfel # B #există pentru fiecare #A#. De asemenea, rețineți că #A# diviziunilor # 10b # dacă și numai dacă fiecare factor prim #A# este, de asemenea, un prim factor al # 10b # cu o multiplicitate corespunzătoare.

Tot ce rămâne, atunci, este să treci prin fiecare #A#.

# a = 1 #: Deoarece toate numerele întregi sunt divizibile #1#, toate cele patru valori pentru # B # muncă.

# A = 2 #: La fel de #10# este divizibil prin #2#, toate cele patru valori pentru # B # muncă.

# A = 3 #: La fel de #10# nu este divizibil prin #3#, trebuie sa avem # B # fiind divizibil #3#, acesta este, # B = 3 #.

# A = 4 #: La fel de #10# este divizibil prin #2#, trebuie sa avem # B # ca divizibil #2# pentru a avea multiplicitatea corespunzătoare. Prin urmare, # B = 2 # sau # B = 4 #.

# A = 5 #: La fel de #10# este divizibil prin #5#, toate cele patru valori pentru # B # muncă.

# A = 6 #: La fel de #10# este divizibil prin #2#, trebuie sa avem # B # ca divizibil #3#, acesta este, # B = 3 #.

# A = 7 #: La fel de #10# nu este divizibil prin #7#, trebuie sa avem # B # ca divizibil #7#. Dar #b <5 #, și deci nici o valoare pentru # B # lucrări.

# A = 8 #: La fel de #10# este divizibil prin #2#, trebuie sa avem # B # ca divizibil #4#, acesta este, # B = 4 #

# A = 9: # La fel de #10# nu este divizibil prin #3#, trebuie sa avem # B # ca divizibil #3^2#. Dar #b <5 #, și deci nici o valoare pentru # B # lucrări.

Aceasta conchide fiecare caz, astfel încât, adăugându-le, ajungem, după cum sa concluzionat în întrebare, #17# valori. Cu toate acestea, această metodă poate fi extinsă cu ușurință la valori mai mari. De exemplu, dacă vrem să mergem #10# la #1000#, ne-ar limita # 1 <= b <100 #. Apoi, privind # A = 6 #, să zicem, am fi avut #2# diviziunilor #10# și, astfel #6# diviziunilor # 10b # dacă și numai dacă #3# diviziunilor # B #. Sunt #33# multiplii de #3# în intervalul pentru # B #, și, astfel #33# numere care se termină în #6# și sunt divizibile prin #6# între #10# și #1000#.

Într-o notație mai scurtă, mai ușor de calculat, folosind observațiile de mai sus, putem scrie numărul de numere întregi între #10# și # # 10k la fel de

(n = 1) ^ 9f (k / (n / gcd (n, 10))) = suma_ (n = 1)

Unde #fl (x) # reprezintă funcția de planșeu, maparea #X# la cel mai mare întreg mai mic sau egal cu #X#.