Cum aș putea dovedi acest lucru? Ar fi aceasta folosind o teorema dintr-o analiză reală?

# "Utilizați definiția derivatului:" #

f (x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)

# "Aici avem" #

f (x_0) h = f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) -g (x_0)) / h #

# "Trebuie să dovedim că" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"sau"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"sau"#

#h '(x_0) = 0 #

# "cu" h (x) = f (x) - g (x) #

#"sau"#

(x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"sau"#

{x - 0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(datorită" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Acum"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# = "lim <= 0" dacă "h> 0" și "lim> = 0"

# "Am făcut presupunerea că f și g sunt diferențiate" #

# "deci" h (x) = f (x) - g (x) "este, de asemenea,

# ", astfel încât limita stângă trebuie să fie egală cu limita potrivită, așa că" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

= f '(x_0) = g' (x_0) #

Răspuns:

Voi oferi o soluție mai rapidă decât cea din http://socratic.org/s/aQZyW77G. Pentru aceasta trebuie să ne bazăm pe unele rezultate familiare din calcul.

Explicaţie:

Defini #h (x) = f (x) -g (x) #

De cand #f (x) le g (x) #, noi avem #h (x) le 0 #

La # X = x_0 #, noi avem #f (x_0) = g (x_0) #, astfel încât #h (x_0) = 0 #

Prin urmare # X = x_0 # este un maxim al funcției diferențiate #h (x) # interior intervalul deschis # (A, b) #. Prin urmare

#h ^ '(x_0) = 0 implică #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) implică #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #