Ce este ortocentrul unui triunghi cu colțuri la (2, 6), (9, 1) și (5, 3) #?

Răspuns:

Orthocenterul este #(-10,-18)#

Explicaţie:

Orthocenterul unui triunghi este punctul de intersecție al celor trei altitudini ale triunghiului.

Panta segmentului de linie de la punctul #(2,6)# la #(9,1) # este:

# m_1 = (1-6) / (9-2) #

# m_1 = -5 / 7 #

Panta altitudinii trase prin acest segment de linie va fi perpendiculară, ceea ce înseamnă că panta perpendiculară va fi:

# p_1 = -1 / m_1 #

# p_1 = -1 / (- 5/7) #

# p_1 = 7/5 #

Altitudinea trebuie să treacă prin punct #(5,3)#

Putem folosi formularul punct-pantă pentru ecuația unei linii pentru a scrie ecuația pentru altitudine:

#y = 7/5 (x-5) + 3 #

Simplificați un pic:

#y = 7 / 5x-4 "1" #

Panta segmentului de linie de la punctul #(2,6)# la #(5,3) # este:

# m_2 = (3-6) / (5-2) #

# m_2 = -3 / 3 #

# m_2 = -1 #

Panta altitudinii trase prin acest segment de linie va fi perpendiculară, ceea ce înseamnă că panta perpendiculară va fi:

# p_2 = -1 / m_2 #

# p_2 = -1 / (- 1) #

# p_2 = 1 #

Altitudinea trebuie să treacă prin punct #(9,1)#

Putem folosi formularul punct-pantă pentru ecuația unei linii pentru a scrie ecuația pentru altitudine:

# y = 1 (x-9) + 1 #

Simplificați un pic:

#y = x-8 "2" #

Am putea repeta acest proces pentru a treia altitudine, dar avem deja suficiente informații pentru a determina punctul de intersecție.

Setați partea dreaptă a ecuației 1 egală cu partea dreaptă a ecuației 2:

# 7 / 5x-4 = x-8 #

Rezolvați pentru coordonata x a intersecției:

# 2 / 5x = -4 #

#x = -10 #

Pentru a găsi valoarea y, înlocuiți -10 pentru x în ecuația 2:

#y = -10 - 8 #

#y = -18 #

Orthocenterul este #(-10,-18)#