Cum pot evalua cos (pi / 5) fără a utiliza un calculator?

Răspuns:

Cos (# Pi # / 5) = cos 36 ° = (# # Sqrt5 + 1)/4.

Explicaţie:

Dacă # # Teta = # Pi #/ 10, apoi 5# # Teta = # Pi #/2 #=># COS3# # Teta = sin2# # Teta. cos (# Pi # /2 - #alfa#) = păcat#alfa#}.

#=># 4# cos ^ 3 # # # Teta - 3cos# # Teta = 2sin# # Tetacos# # Teta#=># 4 # cos ^ 2 ## # Teta - 3 = 2 sin # # Teta.

#=># 4 (1 - # Păcat ^ 2 # # # Teta) - 3 = 2 sin# # Teta. #=># 4# Păcat ^ 2 # # # Teta+ 2sin# # Teta - 1 = 0#=>#

păcat# # Teta =(# # Sqrt 5 - 1) /4.

Acum, pentru 2# # Teta = cos # Pi #/5 = 1 - 2# Păcat ^ 2 # # # Teta, dă rezultatul.

Răspuns:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) + 1) / 4 #.

Explicaţie:

Lăsa # a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. Prin urmare #cos (4 * pi / 5) = -a #. Din formulele cu unghi dublu:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

scăzând, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b)

# A + b # nu este zero, deoarece ambii termeni sunt pozitivi # A-b # trebuie sa fie #1/2#. Atunci

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

și singura rădăcină pozitivă este

# a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Și #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1).