Care este cel mai bun mod de a găsi sqrt (13) fără a utiliza un calculator?

Răspuns:

Aș sugera metoda lui Newton, deși nu sunt pregătit să spun că este mai ușor decât să ghicești și să verifici, apoi să ajustezi presupunerea.

Explicaţie:

Metoda lui Newton este o metodă iterativă de aproximare. (Funcționează din cauza calculului, dar această întrebare este postată în Algebra, deci lăsați-o în pace).

Faceți o primă aproximare. În exemplul dvs., spuneți # x_1 = 3 #

Următoarea aproximare este: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

Cu alte cuvinte, împărțiți-vă #13# de aproximarea curentă și de media cu ultima aproximare.

cunoaștere # # X_n, găsim #x_ (n + 1) # de:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Deci avem: # x_1 = 3 #

A găsi # # X_2:

#13/3 = 4.33#

Media apropierii noastre actuale, #3# și coeficientul #4.33# este #3.67#

Asa de # x_2 = 3,67 #

A găsi # # X_3:

#13/3.67 = 3.54#

Media apropierii noastre actuale, #3.67# și coeficientul #3.54# este #3.61#

Asa de # x_3 = 3,61 #

Da, a fost obișnuit să faci calcule.

Răspuns:

Există o metodă (poate nu bine cunoscută) pentru găsirea rădăcinii pătrate a unui număr pe care am încercat să o demonstrez mai jos.

Explicaţie:

Începeți ca și cum ați crea o diviziune lungă (dar notați absența unui divizor). Numărul este împărțit în blocuri de 2 cifre cu câte perechi de zerouri după punctul zecimal, pe măsură ce vă interesează să scrieți. Punctul zecimal trebuie scris direct deasupra punctului zecimal al numărului pentru care încercați să găsiți rădăcina pătrată (par să fi pierdut a mea).

Decideți pe cea mai mare cifră al cărei pătrat nu este mai mare decât prima pereche de cifre a valorii cu care lucrați și introduceți-le conform indicațiilor de mai jos

Multiplicați numărul de deasupra liniei cu numărul din stânga liniei verticale și scade acest produs de la valoarea de mai sus.

Copiați următoarea pereche de cifre ca sufix la restul anterior.

Dublați valoarea de deasupra liniei și permiteți o cifră de sufix (deci, în acest caz 3 devine ceva între 60 și 69, dar urmează să fie determinat).

Determinați cea mai mare cifră care, atunci când este utilizată ca cifră sufixă din stânga și apoi folosită pentru a multiplica valoarea rezultantă, nu este mai mare decât valoarea de lucru (în acest caz nu mai mare de 400).

Înmulțiți, scădeți, aduceți următoarea pereche de cifre.

Dublați valoarea din partea de sus și scrieți cu spațiu o cifră de sufix în partea stângă a zonei de lucru.

Continuați procesul așa cum este indicat mai jos:

Vă rog; dacă cineva poate oferi o explicație mai simplă a modului de funcționare a acestui proces, vă rugăm să faceți acest lucru.

Răspuns:

Mai degrabă decât să scrie un lung comentariu lui Jim, iată răspunsul "alt".

A găsi #sqrt (n) #, iterați aproximările folosind:

#a_ (i + 1) = a_i + (n-a_i ^ 2) / (2a_i) #

Explicaţie:

Eu folosesc de obicei acest lucru cu fracții "necorespunzătoare" pentru a obține o secvență de aproximări, oprind atunci când cred că am suficiente cifre semnificative, apoi împărțind lungimea întregilor rezultate.

Alternativ, dacă vreau doar rădăcina pătrată la 4 cifre semnificative sau nu, încep cu o aproximare rezonabilă de 2 cifre și efectuez unul sau doi pași.

Încerc să memorez pătratele lui #2# numere de cifre prea. Deci, în cazul #13# Ar trebui să-mi amintesc asta #36^2 = 1296# este destul de aproape de #1300#, asa de #36# face o aproximare bună la #sqrt (1300) #.

Următoarea aproximare ar fi #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

prin urmare #sqrt (13) ~ = 3.6056 #