Care este lungimea arcului r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) pe staniu [1, ln2]?

Răspuns:

Lungimea arcului #~~ 2.42533 # (5dp)

Lungimea arcului este negativă datorită limitei inferioare #1# fiind mai mare decât limita superioară a lui # # Ln2

Explicaţie:

Avem o funcție de vector parametric, dată de:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Pentru a calcula lungimea arcului vom cere derivatul vectorial, pe care îl putem calcula folosind regula produsului:

(t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t)) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Apoi vom calcula magnitudinea vectorului derivat:

# | bb ul r '(t) = (2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 +) #

(2t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2t) t ^ 3 + 4 e ^ (2t) t ^ 2 + 4 e ^ ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2t ^ 2) + 4 e ^ (2t ^ 2) t ^

Apoi putem calcula lungimea arcului folosind:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) dt #

1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ^ 2 + 4 e ^ (2t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2t ^ 2) + 4e ^

Este puțin probabil să putem calcula acest integral folosind tehnica analitică, astfel încât, în locul metodei numerice, să obținem o aproximare:

# L ~ ~ -2.42533 # (5dp)

Lungimea arcului este negativă datorită limitei inferioare #1# fiind mai mare decât limita superioară a lui # # Ln2