Care este lungimea arcului r (t) = (t, t, t) pe staniu [1,2]?

Răspuns:

#sqrt (3) #

Explicaţie:

Căutăm lungimea arcului funcției vectoriale:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # pentru #t în 1,2 #

Ceea ce putem evalua cu ușurință utilizând:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) | dt #

Deci, calculăm derivatul, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Astfel obținem lungimea arcului:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# sqrt (3) (2-1) #

# sqrt (3) #

Acest rezultat trivial nu ar trebui să fie o surpriză, deoarece ecuația originală dată este cea a unei linii drepte.