Radiurile a două cercuri concentrice sunt de 16 cm și 10 cm. AB este un diametru al cercului mai mare. BD este tangentă la cercul mai mic care îl atinge la D. Care este lungimea AD?

Răspuns:

#bar (AD) = 23.5797 #

Explicaţie:

Adoptarea originii #(0,0)# ca centru comun pentru # # C_i și # # C_e și chemarea # R_i = 10 # și # R_e = 16 # punctul de tangență # P_0 = (x_0, y_0) # se află la intersecție #C_i nn C_0 # Unde

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

aici # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Rezolvarea pentru #C_i nn C_0 # noi avem

# {(X ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Extragerea primului din a doua ecuație

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # asa de

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # și # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

În cele din urmă, distanța căutată este

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

sau

#bar (AD) = 23.5797 #

Explicaţie:

Dacă #bar (BD) # este tangentă # # C_i atunci #hat (ODB) = pi / 2 # astfel încât să putem aplica pythagoras:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # determinarea # # R_0

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Punctul # D # coordonate, numite # (X_0, y_0) # trebuie obținută înainte de a calcula distanța dorită #bar (AD) #

Există multe modalități de a face acest lucru. O metodă alternativă este

# Y_0 = bar (BD) sin (pălărie (OBD)) # dar #sin (pălărie (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

atunci

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # și

# X_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

După datele furnizate, cifra de mai sus este extrasă.

O este centrul comun al două cercuri concentrice

#AB -> "diametrul cercului mai mare" #

# AO = OB -> "raza cercului mai mare" = 16 cm #

#DO -> "raza cercului mai mic" = 10cm #

#BD -> "tangentă la cercul mai mic" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Lăsa # / _ DOB = theta => / _ OCD = (180-theta) #

În #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Aplicarea legii cosinusului în #Delta ADO # primim

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOXX (OD) / (OB) #

# => AD ^ = 16 ^ 2 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #