Cum găsiți punctele critice pentru f (x) = - (sinx) / (2 + cosx) și locală max și min?

Răspuns:

Punctele critice sunt la:

# ((2pi) / 3, sqrt (3) / 3) #este un punct minim

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # este punctul maxim.

Explicaţie:

Pentru a găsi punctele critice pe care trebuie să le găsim #f '(x) #

apoi rezolva pentru #f '(x) = 0 #

#f '(x) = - ((sinx)' (2 + cosx) - (2 + cosx) "sinx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (cosx (2 + cosx) - (- sinx) sinx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (2cosx + cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x)) / (2 + cosx) ^ 2 #

De cand # cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x) = 1 # noi avem:

#f '(x) = - (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 #

Haideți să facem un dolce pentru #f '(x) = 0 #pentru a găsi punctele critice:

#f '(x) = 0 #

# RArr- (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 = 0 #

# RArr- (2cosx + 1) = 0 #

#rArr (2cosx + 1) = 0 #

# RArr2cosx = -1 #

# RArrcosx = -1/2 #

#cos (PI- (pi / 3)) = - 1, / -2 #

sau

#cos (pi + (pi / 3)) = - 1, / -2 #

Prin urmare, # X = PI- (pi / 3) = (2pi) / 3 #

sau # X = pi + (pi / 3) = (4pi) / 3 #

Să calculam #f ((2pi) / 3) = - sin ((2pi) / 3) / (2 + cos ((2pi) / 3) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (2-1 / 2) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (3/2) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 3) #

De cand#f (x) # scade # (0, (2pi) / 3) #

Atunci# (((2pi) / 3), - sqrt (3) / 3) # este punctul minim

De atunci funcția crește până la # X = (4 (pi) / 3) # apoi punctul

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # este punctul maxim.