Care este rădăcina pătrată a lui 543?

Răspuns:

#sqrt (543) ~ ~ 23.30236 #

Explicaţie:

Factorizarea primară a #543# este:

#543 = 3 * 181#

Deoarece nu are factori pătrați mai mari decât #1#, rădăcina pătrată din #543# nu poate fi simplificată.

Este un număr irațional între # 23 = sqrt (529) # și # 24 = sqrt 576 #.

Interpolarea liniară, putem aproxima:

#sqrt (543) ~~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~ ~ 23,3 #

Pentru mai multă acuratețe, lăsați # p_0 / q_0 = 233/10 # și iterați folosind formulele:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i)

Asa de:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 * 10 ^ 2 = 54289 + 54300 = 108589)

Doar această iterație este suficientă pentru a obține #7# (aproape #8#) cifre semnificative:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~ ~ 23.30236 #

Dacă vrem mai multă acuratețe, repetă din nou.

Notă de subsol

Repetarea exactă a fracțiunii pentru #sqrt (543) # este:

# 543 = 23; bar (3,3,3,1,14,1,3,3,3,46) #

din care se poate găsi soluția ecuației lui Pell:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

care face #sqrt (543) ~ ~ 669337/28724 # o aproximare foarte eficientă.