Dovedeste ca (aVb) ^ n = a ^ n V b ^ n?

Răspuns:

(vedeți mai jos o dovadă)

Explicaţie:

Să presupunem că cel mai mare factor comun #A# și # B # este # # K

adică # (AVB) = k # folosind notația din această întrebare.

Aceasta înseamnă că

#color (alb) ("XXX") a = k * p #

și

#color (alb) ("XXX") b = k * q #

(pentru # k, p, q în NN) #

Unde

#color (alb) ("XXX") #principalii factori ai # P #: # {P_1, p_2, …} #

#color (alb) ("XXX") #și

#color (alb) ("XXX") #principalii factori ai # Q #: # {Q_1, q_2, …} #

#color (alb) ("XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX") #nu au elemente comune.

Din definiția lui # # K (de mai sus)

noi avem # (AVB) ^ n = k ^ n #

Mai departe

#color (alb) ("XXX") a ^ n = (k * p) ^ n = k ^ n * p ^ n #

și

#color (alb) ("XXX") b ^ n = (k * q) ^ n = k ^ n *

Unde # P ^ n # și # Q ^ n # nu pot avea factori comuni prim (din moment ce # P # și # Q # nu au factori primari comuni.

Prin urmare

#color (alb) ("XXX") a ^ NVB ^ n = k ^ n #

…și

# (AVB) ^ n = a ^ NVB ^ n #