Cum găsiți int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx folosind fracții parțiale?

$Cum găsiți int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx folosind fracții parțiale?$

Răspuns:

Încercați să împărțiți funcția rațională într-o sumă care va fi foarte ușor de integrat.

Explicaţie:

Pentru inceput: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Divizarea parțială parțială vă permite să faceți acest lucru:

(x + 1) / (x (x + 1)) = (x + 1) / x (x-1) / x + b / (x-1) # cu # a, b în RR # pe care trebuie să o găsiți.

Pentru a le găsi, trebuie să înmulțiți ambele părți cu unul din polinomii din stânga egalității. Vă arăt un exemplu, celălalt coeficient se găsește în același mod.

O să găsim #A#: trebuie să multiplicăm totul #X# pentru a face ca celălalt coeficient să dispară.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1).

#x = 0 iff -1 = a #

Faceți același lucru pentru a găsi # B # (înmulțiți totul prin # (X-1) # atunci alegeți # x = 1 #), și veți afla asta #b = 1 #.

Asa de (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1), ceea ce implică acest lucru (x-1) / x (x ^ 2-1)) dx = int (1 / x-1) x-1) - lnabsx #

Cum integrați int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) folosind fracții parțiale?

(X + 2) x + 1 / x + C Trebuie să găsim A, B, C astfel încât 1 / (x ^ + C / (2x-1) pentru toate x. Multiplicați ambele părți cu x ^ 2 (2x-1) pentru a obține 1 = Axă (2x1) + B (2x1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2 Axă + 2BxB + (2A + C) x 2 + (2B-A) xB Coeficienții de egalizare ne dau {(2A + C = 0), (2B-A = 0) -2, B = -1, C = 4. Înlocuind aceasta în ecuația inițială, obținem 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx pentru a obține 2n |

Cum găsiți int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx folosind fracții parțiale?

(1 + 2)) + C Fie 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) be = (A / ) Extinzând partea dreaptă, primim (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) ) + B * (1 + x)) / (1 + x) * (1 - 2x) (1 + x) = 3 sau A - 2Ax + B + Bx = 3 sau (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 echivalând coeficienții x la 0 și constantele de egalitate, = 3 și -2A + B = 0 Rezolvarea pentru A & B, obținem A = 1 și B = 2 Înlocuind integrarea, obținem int 3 / ((1 + x) (1 / x)) dx = int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 + x) / (1 - 2)) + ln (1 - 2x)

Cum integrați int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) folosind fracții parțiale?

Trebuie să descompuneți (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) ca fracțiune parțială. Căutați a, b, c în RR astfel încât (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + -6) + c / (x + 4). Îți voi arăta cum să găsești un singur lucru, pentru că b și c se găsesc exact în același fel. Înmulțiți ambele părți cu x + 3, aceasta va face să dispară de la numitorul din stânga și să o facă să apară lângă b și c. (x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Evaluați acest lucru la x-3 pentru a face ca b și c să dispară și să găsiți a. x